Linear algebra and linear system - Linear Dynamic Statem and State Transition Matrix
Linear Dynamic System and modeling
이번 장에서는 선형 시스템에 대해서 배우게 됩니다.
$\dot{X}(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)$
$Y(t)=C(t)X(t)+D(t)u(t)$
$X(t) \in R^n$
$u(t) \in R^p$
$Y(t) \in R^q$
A,B,C,D 는 continuous한 행렬입니다.
$cos \theta = 1$
$sin \theta = \theta$
$\dot{\theta} = 0$
와 같이 선형화 시킵니다. 이때 $\dot{\theta} = 0$ 은 값이 매우 작기 때문에 가능합니다.
$x_1(t)\triangleq x(t)$
$x_2(t)\triangleq \dot{x}(t)$
$x_3(t)\triangleq \theta(t)$
$x_4(t)\triangleq \dot{\theta}(t)$
와 같이 정의하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$\dot x_1 = x_2$
$\dot x_2 = \frac{1}{Ml}(lu-mlgx_3)$
$\dot x_3 = x_4$
$\dot x_4 = \frac{1}{ML}(-u+(M+m)gx_3)$
앞에서 정의한 식을 위에서 표현한 선형 시스템처럼 표현하면 다음과 같습니다.
Exitence and Uniqueness of the Solution
$\dot{X}(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)$
$Y(t)=C(t)X(t)+D(t)u(t)$
$X(t) \in R^n$
$u(t) \in R^p$
$Y(t) \in R^q$
$X(t_0)=t_0$
다음과 같은 시스템에서 해를 구하는 것은 Initial Value Problem을 푸는 것과 똑같다.
우리는 다음 두가지를 생각해야 한다.
- 미분 방정식이 주어지면 해가 존재할까
- 해가 존재하면 그 해가 유일할까
입력 u를 생각하지 않고 먼저 $\dot{X}=A(t)X$ 와같이 입력이 없는 시스템에서 먼저 생각해보자. 시스템은 초기값 $x(t_0)=x_0$ 과 모델에 의해서만 결정된다.
$A(t)$ 행렬이 t에 대해서 연속이면 구간 I 에서 항상 해가 존재하고 유일하다.
pf 1.)
양변을 적분하면 다음 적분방정식을 얻는다
$x(t)-x(t_0)=\int_{t_0}^{t}A(\tau)x(\tau)d\tau$
$x(t)=x_0 + \int_{t_0}^{t}A(\tau)x(\tau)d\tau$
다음 수열을 생각해보자
$x^0(t)=x_0$
$x^1(t)=x_0 + \int_{t_0}^{t}A(\tau)x^0(\tau)d\tau$
$x^2(t)=x_0 + \int_{t_0}^{t}A(\tau)x^1(\tau)d\tau$
$\vdots$
$x^{k+1}(t)=x_0 + \int_{t_0}^{t}A(\tau)x^k (\tau)d\tau$
일반화 하면 다음과 같다.
$x^{k}(t)=x_0 + \int_{t_0}^{t}A(\tau)x_0d\tau + \int_{t_0}^{t}A(\tau_1)\int_{t_0}^{\tau_1}A(\tau2)x_0 d\tau_2 d\tau_1 \cdots$
$x_0$ 는 상수여서 다음과 같이 표현 가능합니다.
$x^{k}(t)=[I + \int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau + \int_{t_0}^{t}A(\tau_1)\int_{t_0}^{\tau_1}A(\tau2) d\tau_2 d\tau_1 \cdots ]x_0$
k가 무한으로 가면 수렴하는걸 보이기 위해서 간격이 무한히 작아지는 걸 다음과 같이 보인다
$x^{k+1}(t)-x^k(t)=\int_{t_0}^{t}A(\tau)(x^k(\tau)-x^{k-1}(\tau))d\tau$
여기에 놈을 취하면
| $\lVert x^{k+1}(t)-x^k(t)\rVert \le | \int_{t_0}^{t}\lVert A(\tau)(x^k(\tau)-x^{k-1}(\tau))\rVert d\tau | $ |
| $\le | \int_{t_0}^{t} \lVert A(\tau) \rVert \lVert (x^k(\tau)-x^{k-1}(\tau)) \rVert d\tau | $ |
| $\le \beta | \int_{t_0}^{t} \lVert(x^k(\tau)-x^{k-1}(\tau))\rVert d\tau | $ |
이때 $\lVert A(\tau) \rVert \le \beta$
또한
| $\lVert x^{1}(t)-x^0(t) \rVert = | \int_{t_0}^{t}\lVert A(\tau)x_0 d\tau\rVert$ |
| $\le \beta \lVert x_0 \rVert | \int_{t_0}^{t}d\tau | = \beta \lVert x_0 \rVert | t-t_0 | $ |
이므로 식을 계속 대입해 나가면 다음 식을 얻을 수 있다.
| $\lVert x^{k+1}(t)-x^k(t) \rVert \le \beta^{k+1} \lVert x_0 \rVert \frac{1}{(k+1)!} | t-t_0 | ^{k+1}$ |
$\forall t \in I$ 에 대해 k가 무한히 커지면 0으로 수렴하는 것을 알 수 있다
$x^k(t)$ 가 $x(t)$ 로 수렴하는 것을 알았고 $x^k(t)$ 는 t에 대해서 연속하다는 것 또한 알고있다.
과연 $x(t)$ 는 연속인가 에 대한 질문에 답을 해보려고 한다.
우선 다음의 두 성질을 가진다.
$\forall \epsilon , \exists \delta$ st
| $ | \tau - t | \le \delta \Rightarrow | x^k(t)-x^k(t) | \le \epsilon$ |
$x^k(t)\rightarrow x(t)$ uniformly converge
$\Updownarrow$
$\forall \epsilon , \exists N$ st $k\ge N$
| $ | x^k(t)-x(t) | \le \epsilon$ |
과연 $x(t)$ 는 연속인가?
$\forall \epsilon , \exists \delta$ st
| $ | \tau-t | \le \delta\Rightarrow | x(\tau)-x(t) | \le \epsilon$ |
이때 앞에 설명한 두 성질에서 모든 $\epsilon$ 에 대해 만족하므로 $\frac{\epsilon}{3}$ 에서 구한 $\delta,N$ 을 생각한다.
두번째 성질에서 구한 N을 첫번째 성질로 가져와서 생각하면 다음과 같다.
| $ | \tau - t | \le \delta \Rightarrow | x^N(t)-x^N(t) | \le \frac{\epsilon}{3}$ |
이 성질을 가지고 앞의 식을 잠시 바꿔본다면
| $ | x(\tau)-x(t) | \le | x(\tau)-x^N(\tau) | + | x^N(\tau)-x^N(t ) | + | x^N(t)-x(t) | \le \frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$ |
이 되고 연속임을 알 수 있다.
pf 2.) 해의 유일성
$x(t)=x_0 + \int_{t_0}^{t}A(\tau)x(\tau)d\tau$
$y(t)=x_0 + \int_{t_0}^{t}A(\tau)y(\tau)d\tau$
다른 y가 있다고 가정하고
$x(t)-y(t) = \int_{t_0}^{t}A(\tau)(x(\tau)-y(\tau))d\tau$
위 식에 놈을 취하면
| $\lVert x(t)-y(t) \rVert \le \beta | \int_{t_0}^{t} \lVert (x(\tau)-y(\tau)) \rVert d\tau | $ |
0 일 수 밖에 없다. 예를 들면
| $ | f(t) | \le \beta | \int_{t_0}^{t}f(\tau) | d\tau$ 가 있고 |
| $max | f(t) | = \alpha > 0$ 라고 가정한다면 |
| $ | f(t) | \le \beta\alpha | t-t_0 | $ 가 되고 위 식에 대입하면 |
| $ | f(t) | \le \beta^2\alpha \frac{ | t-t_0 | ^2}{2}$ |
$\vdots$
계속 해가면 값이 계속 작아져 0이 됨을 알 수 있다. 즉 모순이며 $f(t) = 0$
State Transition Matrix
$x^{k}(t)=[I + \int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau + \int_{t_0}^{t}A(\tau_1)\int_{t_0}^{\tau_1}A(\tau2) d\tau_2 d\tau_1 \cdots ]x_0$
앞에서 말했던것처럼 위 식에서 k가 무한대로 커지면 solution이 된다. 다시 말하면 solution은 초기값에 어떤 행렬을 곱한것으로 나타낼 수 있다.
이때 ‘어떤 행렬’ 을 ([]안에 있는 것)
$\Phi(t,t_0)$ 와 같이 표현하고 state transition matrix라 한다.
$x(t)=\Phi(t,t_0)x_0$
state transition matrix의 첫번째 colum의 의미는 초기값이
$(1 0 0 0 \dots)^T$ 일때의 해 를 의미한다.
미분을 하면 다음을 생각해 볼 수 있다.
$\frac{d}{dt}\Phi(t,t_0) = [ \frac{d}{dt} \phi_1(t,t_0),\frac{d}{dt} \phi_2(t,t_0) \cdots ]$
$=[ A(t)\phi_1(t,t_0), A(t)\phi_2(t,t_0), \cdots] = A[ \phi_1,\phi_2,\cdots]$
$=A(t)\Phi(t,t_0)$
$\Phi(t_0,t_0) = I$ 가 되는것도 생각해 볼 수 있다.