Linear algebra and linear system - Eigenvalues and Eigenvectors

Eigenvalues and Eigenvectors

Invariant subspace

$span{v_1}=Y$

이 Y에 대해서 선형 mapping L이 있다고 할 때 만약 Y가 L에 대해서 invariant하다고 할 때 $Lv_1 \in Y$ 해야하는데 Y에 속한다는 말은 $Lv_1$이 $\alpha v_1$ 처럼 선형조합으로 표현되야 함을 의미합니다. 즉 v라는 벡터를 L 을 가지고 mapping했을때 $\alpha$ 만큼 상수배 한것을 의미합니다.

Eigenvalue and eigenvector

X라는 vector space를 X로 선형 mapping하는 L이 있다고 할 때 어떤 원소 v를 꺼내서 L로 매핑을 시켜서 Lv로 만들었을때

$Lv=\lambda v$ 를 만족할때, 이때 v는 vector, $\lambda$ 는 scalar

$x\ne 0$ 일때 $\lambda$ 라는 scalar를 L이라는 선형 mapping의 고유치, eigenvalue라고 정의합니다.

X에서 고유벡터 V가 있고 임의의 v 대신 columnvector $\alpha$ 라고 쓰고 L도 행렬 A로 표현한다면

$A\alpha = \lambda \alpha, \alpha \ne 0$ 라고 한다면 똑같은 정의로 생각할 수 있습니다.

이때 $\alpha$ 를 eigenvector라고 정의합니다.

$(\lambda I - A)x = 0$ 를 만족하는 $\lambda,x$를 찾으면 되는데 x는 0이아닌 벡터를 찾아야 하고 $(\lambda I - A)$ 는 정방행렬, x는 column vector로 $(\lambda I - A)$ 가 nonsingular, invertible한 행렬이라면 식을 만족하는 x는 0벡터 밖에 없으므로 x가 0이아닌 조건을 만족하려면 $(\lambda I - A)$ 는 singular한 행렬이 되야 합니다.

즉 $det(\lambda I -A)=0$ 를 만족하는 $\lambda$ 를 찾으면 eigen value가 될 수 있습니다.