Linear algebra and linear system - Vector Spaces

Fields and Vector Spaces

Field

field 라고 하는 것은 scalar라고 불리는 어떤 대상들의 집합. 집합에서 addition과 multiplication이라는 두 가지 연산이 정의되어 있다.

그리고 그 연산은 다음을 만족한다.

field의 예)

$R$ : 실수의 집합 (덧셈과 곱셈이 정의되어있는)

$C$ : complex number의 집합 (덧셈과 곱셈이 정의되어있는)

Rational function의 집합 (역시 덧셈과 곱셈이 정의되어있음)

Rational function : $\frac{polynomial}{polynomial}$

Vector Space

field가 정의되어 있어야한다.

addition과 scalar multiplication 두 연산이 정의되어 있어야한다.

이때 scalar multiplication은 X에서 꺼낸 백터와 F에서 꺼낸 scalar를 곱하는 것을 의미한다.

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Subspaces

field F가 있고 vector space X가 있고 X의 subset인 Y가 있을때 모집합에서 물려받은 덧셈과 scalr multiplication을 했을 때 결과물이 여전히 Y에 속하면 Y를 subspace라고 한다.

subspace 예

• $(X,F) \supset (X,F) $
• $(X,F) \supset ({0},F) $
• $(C[ t_0,t_1],R) \supset (F_2[ t],R),　 F_2=\alpha t+\beta$

Sum of Subspaces

Y와 Z는 전부 subspace이지만 둘의 합도 subspace일까?

Y+Z = subspace이다

pf)

$x_1,x_2 \in Y+Z$

$x_1 = y_1+z_1, y_1\in Y, z_1 \in Z$

$x_2 = y_2+z_2, y_2\in Y, z_2 \in Z$

$x_1+x_2=(y_1+z_1)+(y_1+z_2)$

$=(y_1+y_1)+(z_1+z_2)$

y의 합과 z의 합은 각각의 subspace에 속한다는 의미고 x의 합 또한 각각의 subspace의 합에 속한다는 것을 알 수 있다.

Union of Subspace

$Y\cup Z \triangleq {x:x\in Y or x\in Z}$

Y,Z는 subspace이지만 $Y \cup Z$ 는 subspace?

반례)

다음과 같이 각각의 축을 Y,Z라고 했을 때 덧셈에 대해서 닫혀있지 않고 scalar 곱에 대해서는 닫혀있는 것을 알 수 있다.

Intersection of Subspaces

Direct Sum of Subspaces

direct sum of subspaces의 유용성

vector space내의 원소를 유일하게 표현할 수 있다.

$x\in X = Y\oplus Z$

$x=y+z, y\in Y, z\in Z$

$Y \cap Z={0}$ 성질 때문에 유일하게 표현할 수 있다.

pf) $x=u+w, u\in Y, w\in Z$

$x-x = y-u = w-z$

$y-u \in Y 　, w-z \in Z$

교집합은 영벡터 밖에 없으므로 $y-u = w-z = 0$ 같다. 즉 유일하다

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Linear Independence

집합 A는 무한히 많은 원소를 가져도 된다.

Span

$span({v_1,v_2})={x:x=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2,\alpha_1\alpha_2\in R}$

span(A) : 모집합의 연산에 대해 닫혀 있어서 subspace가 될 수 밖에 없다.

즉 어떤 집합의 span도 subspace가 된다.

Linear Independence

${\varnothing}$ : 선형독립

${x} 　x\ne 0$ : 선형독립

${0}$ : 선형종속

$A\subset X^{v.s}$

If $v \in A$ is v linear combination of $A-{v}$

then $span(A)=span(A-{v})$

pf)

$span(A)\supset span (A-{v})$ 는 매우 자명

$span(A) = span(A-{v})+ span({v})$

$span({v}) \subset span(A-{v})$ 왜나면 v가 $A-{v}$ 의 선형 결합이기 때문에

따라서

$span(A) \subset span(A-{v})$

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Basis

B is a basis of X if B is independance & span(B)=X

Basis는 유일하지 않다.

ex)

$x^{‘’’}(t)+6x^{‘’}(t)+ 11 x^{‘}(t)+6x(t)=0$

basis를 다음과 같이 가정하고 만족하는지를 찾습니다.

$B={e^{-t},e^{-2t},e^{-3t}}$

independent 만족

$\alpha_1e^{-t}+\alpha_2e^{-2t}+\alpha_3e^{-3t}=0$, 모든 t에 대해서 linear combination을 통해서 set of solution을 만들 수 있는가 또한 만족한다