Linear algebra and linear system - Observability and Duality

Definition of Observability

$\dot x = A(t)x + B(t)u$

$y=C(t)x+D(t)u$

x를 알기위해서는 D(t)u를 이항하고 C(t)의 inverse를 곱해서 알 수 있지만 C(t)를 알고 있다는 것은 state의 개수만큼 센서를 사용하여 알고있다는 의미입니다. 하지만 여러가지 이유로 인해(경제적, 측정불가능하거나) 보통 state의 개수만큼 센서를 사용하지 않습니다.

우리가 알고 있는것은 입력 u와 센서로 측정되는 출력 y, 그리고 시스템의 모델 A,B,C,D를 알고 있지만 x(t)는 모르는 상황입니다.

유한시간 구간 $[ t_0,t_1]$ 동안에 입력,출력,ABCD를 다 알때 $x(t_0)$ 를 알 수 있느냐 없느냐에 Observability가 결정됩니다.

Observability

$y(t)=C(t)\Phi(t,t_0)x(t_0)+C(t)\int_{t_0}^{t}\Phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau+D(t)u(t)$

알고있는 항들을 좌변으로 몰고 $\bar y(t)$ 로 표현합니다.

$y(t)-C(t)\int_{t_0}^{t}\Phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau+D(t)u(t)=C(t)\Phi(t,t_0)x(t_0)$

$\bar y(t) =C(t)\Phi(t,t_0)x(t_0)$

이때 우변을 mapping L로 생각합니다.

$(Lx)(\cdot):R^n \rightarrow C^q[ t_0,t_1]$

$\bar y(\cdot)$은 위 mapping의 rangespace에 있습니다.

또한 mapping의 nullspace가 0밖에 없다면 Observable한 system입니다.

---

Observability Gramian

THM : $N(L)=N(G_0(t_0,t_1))$

Observability Gramian $G_0 = \int_{t_0}^{t_1}\Phi^T(t,t_0)C^T(t)C(t)\Phi(t,t_0)dt$

pf_1)

$x\in N(L) \rightarrow x\in N(G_0)$

$C(t)\Phi(t,t_0)x=0,　\forall t\in [ t_0,t_1]$

또한 $G_0$ 뒤에 x를 곱해도 당연히 0이 되므로 $N(G_0)$에 속합니다.

pf_2)

$x\in N(L) \leftarrow x\in N(G_0)$

$\int_{t_0}^{t_1}\Phi^T(t,t_0)C^T(t)C(t)\Phi(t,t_0)dt x = 0$

앞에 $x^T$를 곱하면 $C(t)\Phi(t,t_0)x=0$를 얻을 수 있습니다.

다음으로 증명할 수 있습니다.

내가 가진 system이 observability하다면

$G_0(t_0,t_1)$ 의 nullspace가 0밖에 없거나 observability gramian이 nonsingular합니다.

$\bar y(t) =C(t)\Phi(t,t_0)x(t_0)$ 에서 $\bar y(t)$에서 $x(t_0)$를 어떻게 복원하냐에 대한것은 $Lx(\cdot)$의 mapping관계를 얻을 수 있었고 가능성에 대한 것은 mapping의 nullspace가 0밖에 없다면 $x(t_0)$가 유일하게 결정될 수 있으므로 가능성은 있습니다.

이제 문제는 $x(t_0)$를 어떻게 얻어내는가 입니다.

$\int_{t_0}^{t_1}\Phi^T(t,t_0)C^T(t)\bar y(t)dt$

$=\int_{t_0}^{t_1}\Phi^T(t,t_0)C^T(t)C(t)\Phi(t,t_0)x(t_0)dt$

$x(t_0)$는 상수항이라서 적분기호 밖으로 꺼낼 수 있고 나머지는 Observability Gramian입니다.

observable하므로 observability gramian은 nonsingular,positive definite 행렬 입니다. 따라서 inverse를 곱하면 $x(t_0)$를 구할 수 있습니다.

$G_0^{-1}(t_0,t_1)\int_{t_0}^{t_1}\Phi^T(t,t_0)C^T(t)\bar y(t)dt = x(t_0)$

Observability of Linear Systems

observability하다면 $G_0(t_0,t_1)$이 positive definite 혹은 nonsingular 행렬이라는 것 까지 배웠습니다.

$[t_0,t_1 ]$ 구간에서 not ovservable하다면

$\Rightarrow \exist \beta \ne 0$

$C(t)\Phi(t,t_0)\beta=0,　\forall t\in[t_0, t_1]$

위를 통해 observability의 성질을 끌어내겠습니다.

양변을 time t에 대해서 미분하면

$\dot C \Phi\beta + CA\Phi\beta=[\dot C(t)+C(t)A(t)]\Phi(t,t_0)\beta \triangleq N_1(t)\Phi(t,t_0)\beta$

($N_0(t)\triangleq C(t)$ 입니다.)

또 양변을 미분하면

$\dot N_1(t)+N_1(t)A(t)]\Phi(t,t_0)\beta\triangleq N_2(t)\Phi(t,t_0)\beta$

이런식으로 쭉 정의해 나갈 수 있습니다.

또한 모두 0이 됩니다.

$\begin{bmatrix} N_0(t)
N_1(t)
\vdots
N_{n-1}(t) \end{bmatrix} \Phi\beta =0$, 　$\Phi,\beta$는 0이 아닌 column vector