Linear algebra and linear system - Stability of Linear Systems

Stability를 얘기하기 전에 평형점에 대해서 얘기합니다.

Equilibrium and Linearization of Nonlinear Model

많은 경우에 대해 시스템은 다음과 같이 비선형 시스템으로 표현할 수 있습니다.

$\dot x(t) = f(x(t),u(t))$

$x \in R^n$

$u\in R^P$

f 는 비선형 함수입니다.

앞에서 잠깐 나왔던 Inverted Pendulum과 같은 경우도 sin, cos, x의 제곱이 포함된 비선형 이였습니다.

equilibrium은 시간이 지나도 그 값이 변하지 않는 상태 즉

$\dot x(t)=0$ 입니다.

Inverted Pendulum의 경우를 살펴보면 state가 cart의 포지션, 속도 pole의 각도, 각속도였습니다.

그렇다면 평형점은 다음을 구하면 됩니다.

$f(x,u)=0$

다음 식을 통해 우리는 평형점은 일방적으로 입력에 의존한다는 것을 알 수 있습니다.

예를 들어 다음의 비선형 시스템의 평형점 $x^*$을 구하면

$f(x,u)=\binom{x_2}{-x_1-sin(x_2)+u}=0$

$x^*=\binom{u}{0}$ 가됩니다.

평형점은 움직이지않는, 고요한 상태라고 했는데 u가 time variant 함수라면 뭔가 이상하다라는 것을 느꼈을 겁니다.

이런 예에서는 입력을 상수($u^*$)로 가정하고 구하게 됩니다.


평형점을 원점으로 생각하면 편하기 때문에 다음을 정의합니다.

$\delta x(t) \triangleq x(t)-x^*$

$\delta u(t) \triangleq u(t)-u^*$

위에서 나온 비선형 식을 다음 식을 가지고 다시 표현하면

$\delta \dot x = f(\delta x(t)-x^,\delta u(t)-u^{})$

보통의 시스템에서는 평형점 주변에서의 상태를 보고 제어하기를 원합니다.

계속 나왔던 Inverted Pendulum 도 그렇고 전압을 일정하게 유지하는 regulator또한 비슷합니다.

평형점 주변에서만 관심이있다 라는 말은 $\lVert \delta x \rVert \ll 1$ 이라는 의미로 비선형 시스템을 선형화 할 수 있습니다.

$x^,u^$라는 특별한 포인트 근처에서 위의 비선형 함수를 테일러 전개하면


$f(\delta x(t)-x^,\delta u(t)-u^{}) = f(x^,u^)+\frac{\partial f}{\partial x }(x^,u^)\delta x(t)+\frac{\partial f}{\partial u }(x^,u^)\delta u(t)+H.O.T$

이때 $\frac{\partial f}{\partial x }$ 는 nxn Jacobian입니다.

column 벡터인 f(x,u)는 다음과 같고 Jacobian은 다음과 같습니다.

H.O.T 는 High Order term으로 $\delta x(t), \delta u(t)$ 의 제곱, 둘의 곱, 삼차 등등의 값이 있지만

$\lVert \delta x \rVert \ll 1$

이고 입력은 아직 정해지지 않았지만 매우 작은 입력만 사용한다고 하면 즉

$\lVert \delta u \rVert \ll 1$

라고 가정한다면 H.O.T은 매우 작다고 가정할 수 있습니다.

평형점 이기 때문에 $f(x^,u^)=0$

$\frac{\partial f}{\partial x }(x^,u^)$는 nxn상수 행렬 A입니다.

$\frac{\partial f}{\partial u }(x^,u^)$는 nxp 행렬 B입니다.

따라서 $\delta \dot x = A \delta x(t) + B \delta u(t)$ 가 됩니다.


y또한 다음과 같이 표현됩니다.

$y=h(x,u)$

$ =h(\delta x(t) + x^,\delta u(t)+u^)$

$= h(x^,u^) + C\delta x + D \delta u$ + H.O.T



꼭 평형점으로만 보내는 제어를 하지는 않습니다.

예를 들어 미사일을 생각해 본다면 특정한 궤적을 따라가기를 원합니다.

바람이 불지않고 매우 이상적인 상황에서의 궤적과 입력을 생각한다면

$\dot x^(t) = f(x^(t),u^*(t))$

그리고 더이상 $\delta x(t)$에서 $x^*$는 더이상 상수가 아니게 됩니다.

$\delta x(t) \triangleq x(t)-x^*(t)$

$\delta u(t) \triangleq u(t)-u^*(t)$

따라서

$\delta dot x = \dot x - \dot x ^* = f(x(t),u(t))-\dot x^*$

$\delta \dot x = f(\delta x(t)-x^(t),\delta u(t)-u^{}(t))$

테일러 전개를 통해 얻는 $f(x^,u^)$는 더이상 0이 아니지만 $-\dot x^*$까지 하면 0이 됩니다.

행렬 A,B또한 더이상 상수 행렬이 아닌 A(t),B(t)가 됩니다.

따라서 Time variant linear system 을 얻게 됩니다.


Definition of Lyapunov Stability

state : $x = \delta x + x^*$ 라고 생각한다면 $\delta x=0$ 일때 평형점 위에 놓인 상태라고 생각할 수 있고 $\delta x$ 가 0이 아니라도 시간이 지남에 따라 0으로 수렴한다면 좋은 상황이라고 생각할 수 있습니다.


Lyapunov Stability (internal stability)

Q : 평형점이 stable?

먼저 입력이 없으면 다음과 같습니다.

$\dot x = A(t)x$

LTI system이라면 평형점을 구하는것은 다음을 구하는 것으로

$\dot x = Ax=0$ 에서 평형점은 두 종류가 있습니다.

A행렬이 nonsingular 하다면 원점, 혹은 A의 nullspace입니다.

여기서 원점이 평형점이라고 생각하고 진행합니다.


밑이 오목한 컵이 있고 그 안에 구슬이 있다고 생각했을 때 다음과 같이 있는 상황은 평형점에 있다고 말할 수 있습니다.

구슬을 컵 어디에 놔둬도 중력과 마찰이 있다면 평형점으로 갈것이고 우리는 이를 asymptotic stable하다고 합니다.


다음과 같이 파란 공을 들어서 오른쪽으로 옮겨 둔다면 이전의 평형점으로 다시 돌아가지 않고 그대로 머물러 있을 것입니다.

이를 stable하다고 합니다.


다음과 같은 상황을 unstable하다고 합니다.



Stability

$x_e = 0$ 즉 원점(위에서 원점이 평형점이라고 가정했기 떄문),

$\dot x = f(t,x) = A(t)x$ 라고 생각하면 이해에 도움이 됩니다.

1.stable

의미는 초기값이 $\delta$보다 작으면 솔루션이 $\epsilon$ 안에 있다.

이때 $\delta$는 $\epsilon,t_0$에 의존해도 됩니다.


2.uniformly stable

$\delta$가 $t_0$에 즉 initial time에 의존하지 않습니다.

특별히 시스템이 time-varying시스템이 아니면 uniformly stable은 성립합니다.

4.asymptotic stable

초기값이 상수 C보다 작을때 시간이 무한대로 감에 따라 $\lVert x(t) \rVert\rightarrow 0$ 임을 나타내고

5.globally asymptotic stable

위의 asymptotic stable에서 초기값 상수 C에 대한 제약이 없습니다.


Determination of Stability for Time-invariant Systems

이전의 방법은 해를 구하고 stability를 확인했습니다.

이제는 해를 구하지 않고 stability를 알 수 있는 방법을 얘기해 봅시다.

pf 1)

$\lVert x(t) \rVert = \lVert \Phi(t,t_0)x_0 \rVert$

$\le \lVert \Phi(t,t_0) \rVert \lVert x_0 \rVert $

$\le k(t_0) \lVert x_0 \rVert $

이므로

$\forall \epsilon, \delta = \frac{\epsilon}{k(t_0)}$

$\lVert x_0 \rVert \le \delta \rightarrow \lVert x(t) \rVert\le \epsilon$

$k$가 $t_0$에 의존하지 않게 잡는다면 uniformly stable할 수 있습니다.



ex)

state transition 행렬의 element가 4개 있고 (2,1) (2,2) 는 시간이 무한대로 가면 0이 되지만 (1,2)에 있는 element는 $e^t$ 항이 남으므로 무한대로 발산합니다.


LTI라면 좀 더 유용하게 stable을 조사할 수 있습니다.

$\dot x = Ax$

$e^{At}=\sum_{i=1}^{d}\sum_{j=0}^{\eta_i-1}(\frac{d^j e^{\lambda t}}{d \lambda^j}){\lambda=\lambda_i}Z{ij}$

따라서 행렬 A의 eigenvalue의 realpart가 음수라면 시간이 많이 지났을 때 0으로 가는 것을 알 수 있습니다.

단하나라도 positive하다면 unstable하다는 것 또한 알 수 있습니다.

여기서 더 생각해 볼 수 있는 것은 eigenvalue가 $jw$축 위에 있을 때 어떻게 되냐 입니다.

$\eta_i=1$이라면은 미분하지 않고 $e^{\lambda t}$와 같은 항만 남고 따라서 진동은 하지만 발산하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 즉 최소한 stable하다는 것을 알 수 있습니다.

$\eta_i$가 1보다 크다면 $te^{\lambda t}, t^2e^{\lambda t}$ 같은 항들이 나오고 이는 발산한다는 것을 의미합니다.

위를 정리한게 다음의 theorem입니다.



예제)

$\lambda = -1, 5$ 이라면 unstable한 system

$\lambda = -w, w$ 이라면 stable 그러나 asymptotic stable은 아니다.


jordam form으로 생각해보면 (2,1) 이 0이므로 grade1 이 두개있는거므로 0으로 가지는 않지만 stable한 system입니다.

만약 (2,1)이 1이라면 $\eta$가 2가 되는 경우가 되는거고 t의 1승을 가지고 발산하는 경우가 됩니다.


BIBO Stability of Linear Systems

(In-out stab)

BIBO stability에서는 입력과 출력에 대해서 생각합니다.

Lyapunov stability에서는 초기값이 중요했습니다.

BIBO에서는 초기값이 주어졌다고 생각하고 stability를 생각합니다.

$\dot x = Ax + Bu$

$y = Cx + Du$

$x(t_0)=x_0$

전달함수 G(s)를 가지고 stability를 확인했을 때는 초기값이 0이라고 생각했을 때를 구한것 입니다.

선형시스템의 경우 사실 초기값이 크게 중요하지 않습니다. 따라서 위의 definition에도 초기값을 크게 생각하고 있지 않습니다.

$y(t) =\int_{-\infty}^{t}H(t,\tau)u(\tau)d\tau$

에서 $H(t,\tau)$ 는 inpulse response로 output at t, input = $\delta(t-\tau)$ 입니다.

multi input, multi output에서 H는 gxp mtx 입니다. j th col of H = output at t, input $u_j = \delta(t-\tau)$, $u_{k\ne j}=0$


$\dot x = A(t)x+B(t)u$

$y=C(t)x+D(t)u$

$y(t)=C(t)\Phi(t,t_0)x(t_0)+C(t) \int_{t_0}^{t} \Phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau + D(t)u(t)$

$H(t,\tau)=C(t)\Phi(t,\tau)B(\tau)+D(t)\delta(t-\tau)$



THM)

BIBO system $\Leftrightarrow \int_{-\infty}^{t} \lVert H(t,\tau) \rVert d\tau < \infty$

$\forall t \in (-\infty,\infty)$


pf)

$\lVert y(t) \rVert = \lVert H(t,\tau) u(\tau) d\tau \rVert \le $

$\int_{-\infty}^{t} \lVert H(t,\tau) \rVert \lVert u(\tau) d\tau \rVert $

$u \le M$ 이므로

$\le M \int_{-\infty}^{t} \lVert H(t,\tau) \rVert d\tau $



LTI system이라면 impulse response가 언제 시작되었는지 중요하지 않습니다.

$H(t,\tau) \Rightarrow H(t-\tau)$



$\int_{-\infty}^{t} \lVert H(t -\tau) \rVert d\tau$

$ = \int_{0}^{\infty} \lVert H(s) \rVert ds$

이떄 $t-\tau = s$

이고 위를 통해서 LTI시스템은 0부터 무한대까지 확인하면 됩니다.


BIBO Stability and Poles of LTI Systems

LTI 시스템의 전달함수 $G(s)=C(SI-A)^{-1}B+D$

$=C\frac{adj(SI-A)}{det(SI-A)}B+D$

$ = \mathcal{L} {h(t)}$

$det(SI-A)$ 에서 A의 모든 eigenvalue가 나타나고 realpart가 음수라면 pole의 realpart도 음수입니다.

라플라스 역변환을 하면 $e^{-t}$의 형태를 가지게 됩니다.

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