Linear algebra and linear system - Basics of Linear Time-Invariant System

Matrix Exponential

9장에서 입력이 없는 식에 대한 state transition에 대해서 배웠습니다.

10장에서는 앞에서 배웠던 미분 방정식이 time invariant한 system에 대해서 공부합니다.

$\dot X=AX+Bu$

$Y=CX+Du$

위는 LTI system이고 A,B,C,D가 모두 상수 입니다.

A가 상수라면 state transition matrix는 다음과 같습니다.

$\Phi(t,t_0) = I + A(t-t_0) + A^2\frac{1}{2}(t-t_0)^2+A^3\frac{1}{3!}(t-t_0)^2 \cdots$

$e^{at}$ 를 테일러 전개하면 다음과 같습니다.

$1+(at)+\frac{1}{2!}(at)^2+\frac{1}{3!}(at)^3+ \cdots$

그렇다면 A가 상수일때 state transition matrix는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$\Phi(t,t_0)=e^{A(t-t_0)}$

만약 A가 diagonal matrix라면 더 쉽게 표현할 수 있습니다.

예를 들어

$det(\lambda I-A)=S(S+3)+2 = s^2+3S+2 = (S+2)(S+1)=0$

$\lambda_1=-1,\lambda_2=-2$

$AT=T\Lambda$

위의 state transition matrx는 다음과 같이 표현될 수 있습니다

$\Phi(t,t_0)=TT^{-1}+T\Lambda T^{-1}+T\Lambda^2 T^{-1} + \cdots$

따라서

$e^{At}=Te^{\Lambda t}T^{-1}$

이때

그렇다면 다음은 성립하는가??

$\dot X = A(t)X$

$\Phi(t,t_0)=e^{\int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau}$

만약

$\dot X = a(t)X$ 에서 a가 scalar라면 위 식은 성립한다

또한

$A(\tau)\int_{t_0}^{t} A(\tau)d\tau=\int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau A(t)$

가 성립한다면 위의 식이 성립한다.

pf) $\dot \Phi = A(t)\Phi$ 가 됨을 보여줌으로 증명한다.

$e^{\int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau} = I + \int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau + \frac{1}{2}(\int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau)^2 + \cdots $

$\frac{d}{dt}e^{\int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau} = A(t) + \frac{1}{2}(A(t)\int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau) + \int_{t_0}^{t}A(\tau)d\tau A(t) + \cdots $

위 조건을 만족하면 $A(t)$ 를 앞으로 밀어낼 수 있고 증명할 수 있다.

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Properties of state Transition Matrix

Properties of $Phi(t,t_0)$

1) $\Phi(t_0,t_0) = I$ 2) $\Phi(t,t_1)\Phi(t_1,t_0) = \Phi(t,t_0)$ 1) $\Phi^{-1}(t,t_0) = \Phi(t_0,t)$ 1) $\frac{d}{dt}\Phi(t_1,t) = -\Phi(t_1,t)A(t)$

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Variation of Constatnt Formula

지금까지는 입력신호가 없을 때를 얘기했지만 지금부터는 입력신호까지 있는 상태에서 살펴보겠습니다.

새로운 변수를 도입합니다.

$z(t)\triangleq \Phi(t_0,t)x(t)$

$\dot z(t) = -\Phi(t_0,t)A(t)x(t) + \Phi(t_0,t)(A(t)x+B(t)u)$

$=\Phi(t_0,t)B(t)u(t)$

$z(t) = z(t_0)+\int_{t_0}^{t} \Phi(t_0,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau$

그렇다면 $x(t)$ 는 다음과 같습니다.

$x(t)=\Phi(t,t_0)z(t)=\Phi(t,t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^{t}\Phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau$

입력이 0이라면 제일 우측항이 없어져서 앞에서 구한식과 똑같다는 걸 알 수 있습니다.

LTI

$\dot{x} = Ax + Bu$

$y = Cx + Du$

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$

라플라스 변환을 사용하면

$SX(S)-x(t_0)=AX(S)+BU(S)$

$(SI-A)X(S)=BU(S)+x(t_0)$

라플라스 역변환을 하면

$x(t)=\mathcal{L}^{-1}{(SI-A)^{-1}} x(t_0)+\mathcal{L}^{-1}((SI-A)^{-1})Bu(t)$

해가 유일하기 떄문에 다음이 성립한다.

$e^{At}=\mathcal{L}^{-1}{(SI-A)^{-1}}$

TF 초기값이 0일때

$\frac{T(S)}{T(S)}=C(SI-A)^{-1}B+D$