Linear algebra and linear system - System and State

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  • control : 우리가 원하는 출력을 얻기 위해서 시스템의 입력을 설계하는것
  • feed back control : 출력 신호를 입력측에 되돌림으로써 제어 입력을 만드는데 활용하는것(센서를 통해 값을 입력받는다)

시스템이 예상한것과 완벽하게 동일하게 움직인다면 feed back을 받을 필요가 없지만 그렇지 않기 때문에 꼭 필요하다.


앞으로 배우게될 기본적인 시스템

system model에 대한 기본 개념을 상태변수 공간에서 학습하고 선형대수의 기초를 다시배우고, 상태공간방정식의 해, Lyapunov stability, controllability, observability, controllable and observable canonidal form, duality, 상태변수 궤환 제어기 설계, 상태변수 관측기 설계, 및 출력 궤환 제어 방법을 학습합니다.


System

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system : 입력신호를 출력신호로 변환해 주는 대상체

$u(t)$ : t라는 값이 고정되어 집어 넣은, 결과값은 상수벡터 $u( \cdot )$ : 함수 자체를 표현


Classification of Systems

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  • causal system

현재와 과거의 입력으로만 결정된다면 causality를 가진다.



  • dynamic system

출력 $y(t_0)$ 가 $t_0$ 의 앞뒤시간에 영향을 받는것 덧셈을 하는 system은 static system 미분 방정식으로 주어진 (ex. $\dot y = u$) 시스템은 dynamic system

다음과 같은 회로는 $Ri(t)+ \frac{1}{c}\int\limits_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau = u(t)$ 와 같이 표현하고 $\frac{1}{c}\int\limits_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau$ 를 $y(t)$ 라고 한다면 $\dot y = \frac{1}{c}i(t)$가 된다.

$RC \dot y + y =u$ 로 표현하고 해를 구하면 $y(t) = \int\limits_{-\infty}^{t}\frac{1}{RC}(e^{- \frac{t-\tau}{RC}})u(\tau)d\tau $ 가 된다. 미래 입력에 영향을 받지 않으므로 causal system이고 $u(t)$의 현재시간 t에만 영향을 받지 않으므로 Dynamic system이다.



  • relaxed system

$t_0$ 에서 system이 relaxed라는 것의 의미는 $t_0$이후의 출력은 온전히 $t_0$이후의 입력만으로 결정된다는 것을 의미한다.


State

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$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{t_0}\frac{1}{RC}(e^{- \frac{t-\tau}{RC}})u(\tau)d\tau + \int\limits_{t_0}^{t}\frac{1}{RC}(e^{- \frac{t-\tau}{RC}})u(\tau)d\tau $

$= e^{- \frac{t_0 - t}{RC}}\int\limits_{-\infty}^{t_0}\frac{1}{RC}(e^{- \frac{t-\tau}{RC}})u(\tau)d\tau + \int\limits_{t_0}^{t}\frac{1}{RC}(e^{- \frac{t-\tau}{RC}})u(\tau)d\tau $

이때 앞의 항을 state라 할 수 있다.

system의 state는 time t까지의 과거의 information을 모두 함축하고 있어서 x(t)의 state 벡터만 있다면 그 벡터와 t초이후의 입력만 가지고 미래의 출력을 완전히 결장할 수 있고 이를 state라 부른다.


RLC회로를 생각해 보자.

$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C} \int\limits_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau = u(t)$ 에서 $\frac{1}{C} \int\limits_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau = y(t)$ 로 생각해본다면 $LC\ddot{y} + RC\dot{y} + y = u$가되며 $x_1(t) = y(t), x_2(t)=\dot{y}(t)$

$\dot{x_1}=x_2, \dot{x_2}=-\frac{RC}{LC}x_2 - \frac{x_1}{LC}+\frac{u}{LC}$

상태공간에 표현하면

$ \begin{bmatrix} \dot{x_1}
\dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1
-\frac{1}{RC} & -\frac{R}{L} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1
x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0
\frac{1}{LC} \end{bmatrix} u $

상태변수를 $i_L(t)+v_c(t), i_L(t)-v_c(t)$ 와같이 잡아도 된다. 수학적으로는 어떤 model을 표현하는 state가 될 수 있지만 전류와 전압을 더하는 물리량은 의미있는 물리량은아니다.

state는 유일하지 않지만 system의 최소한의 state의 개수는 유일하며 시스템의 차수와 동일하다.


Linear State Space Systems

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  • Linear state space system

주의할 점은 homogeneity를 만족하기 위해서는 초기값에도 배수가 곱해져야한다는 점이다.

zero-state Response : 초기값이 0일때 나오는 출력 ${ u[t_0,\infty ), 0 } \rightarrow y^{ZS}[t_0, \infty) $

zero-input Response : 입력이 0일때 나오는 출력 ${ 0, x(t_0) } \rightarrow y^{ZS}[t_0, \infty) $

zero-state Response 와 zero-input Response를 더하면 ${ u[t_0,\infty), x(t_0) } \rightarrow y[t_0, \infty) $

선형시스템의 특징 : 선형시스템의 출력은 zero-state Response와 zero-input Response로 나눌 수 있다.


Time invariance

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시불변시스템은 입력이 T만큼 shift되면 출력또한 T만큼 shift되어 같은 출력을 보이는 것을 말한다.

여러시스템을 살펴보았고 간단한 예제를 보자. $y(t) = \int\limits_{t-1}^{t}\tau^2u(\tau)d\tau$

Linear system이고 과거만 영향을 미치므로 causal system이며 time-variance system이고 과거의 입력도 사용하기 때문에 dynamic system이다.

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