Inverted Pendulum - 1.동역학 해석
Inverted Pendulum의 동역학 해석
어떤 시스템에 대한 제어기를 설계할때 가장 먼저 해야하는 것이 시스템에 대한 동역학 해석이라고 생각한다.
위의 사진과 같이 추는 달려있지 않는 하나의 pole과 cart가 있는 시스템이다.
| 기호 | 뜻 | 값 |
|---|---|---|
| M | 카트의 질량 | 1kg |
| m | 진자의 질량 | 0.3kg |
| l | 진자의 질량 중심까지의 길이 | 30cm |
| b | 카트의 마찰계수 | 0.5Kg/s |
| r | 볼스크류 1회전당 이동거리 | 1.27cm |
| Km | 모터 토크 상수 | 4.9 Ncm/A |
| Kb | 모터 역기전력 상수 | 0.0507V/rad/s |
| R | 모터 전기자 저항 | $0.3 \Omega$ |
카트의 운동에 대한 방정식을 구하면 다음과 같다.
이때 $N$은 다음과 같다
(1)식과 (2-3) 식을 연립
진자에 수직인 힘을 구하면 다음과 같다
진자의 회전운동에 관한 식은 다음과 같다
(5) 식을 (4) 식에 대입
비선형 시스템을 진자가 수식이 되는 즉 $ \theta = \pi + \phi$ 구간에서 선형화 시킵니다. (이 구간이 pole이 수직으로 서있을때 입니다.)
(3)식과 (6)식을 선형화 시키면 다음 두 식을 얻을 수 있습니다.
식 (3-1)에서 $F$는 모터에서 발생되는 힘이며 이때 모터에서 발생되는 토크 $T = \operatorname{K}_{m}i$ 이며
$F$에 대해서 나타내면 $F=2 \frac{\pi T}{r} = \frac{2\pi}{r}{K}_{m}i$ 과 같이 표현되며 이때 $r$은 모터가 한 바퀴 회전할 때 볼스크류가 이송되는 거리이다.
모터에 입력되는 전압과 전류의 관계는 $V=iR+\operatorname{K}_{b} \dot{\theta}$ 와 같다 이때 모터의 회전과 카트의 이동거리는 $\theta=\frac{2\pi}{r}x$ 와 같이 정리될 수 있다.
앞의 두 식을 연립하여 정리하면 $V=iR+\frac{2\pi\operatorname{K}_{b}}{r}\dot{x}$ 와 같이 정리된다.
이를 $F$에 대해 정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다.
식 (3-1)과 연립하면 다음 식을 얻을 수 있다.
수식을 간단화 하기위해 다음과 같이 정리한다.
따라서 최종적으로 얻을 수 있는 식은 다음과 같다.
위와 같이 Inverted pendulum의 동역학 해석을 마쳤다.
series
1.동역학해석
3.Swingup