system indentification 3~4

Three-parameter Models

Three-parameter Models는 Two-parameter Models와 사용하는 이유는 같다. 주어진 시스템의 전달함수를 모를때 step response를 보고 전달함수를 구하기위해서 사용하며 다음과 같다.

K : static gain T : time constant L : dead time $T = T_{ar}-L$

Step Response $y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left { \frac{k}{s(sT+1)}e^{-sL} \right } \quad=K(1-e^{-\frac{1}{T}(t-L)}) 1 (t-L)$

Average residence time = $T = A_{0}/K = L+T$
Normalized dead time $\tau = \frac{L}{(L+T)}=\frac{L}{T_{ar}}$ 여기서 $L$이 작다는 것은 delay가 적고 이는 제어하기 쉽다는 것을 의미한다.

다음은 시스템 $G(s)$를 보여준다.

damping이 있는 모델에서의 three-parameter model은 다음과 같다.

위에서 했던 방식들은 노이즈가 없다고 가정하고 했지만 실제로는 노이즈에 예민하다. 앞으로 소개할 내용은 measurement noise에 덜 취약한 방법들이다.

적분은 measurement noise에 효과적인 방법이다.

이전의 방법은 step입력을 주고 출력을 통해 system의 model을 선정했다면 앞으로는 여러 입력과 출력을 가지고 system의 model을 구하는 법을 배운다.

Data fittin 얻은 데이터를 가장 잘 표현하는 함수를 만들때 parameter를 선정하는 방법을 말한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌을때 우리는 함수를 $y=ax+e$ 와 같이 표현할 수 있다. 이때 $e$ 는 error 혹은 noise를 의미한다.

error의 총합을 더해서 제일 오차가 적은 함수로 표현할 수 있겠지만 분산의 의미를 생각하여 error의 제곱을 총합하여 오차가 가장 적은 함수로 표현한다.

$E=\sum_{i=1}^N (y_i - ax_i)^2$ 일때 error가 가장 적은 a를 구하기 위해서 미분해서 0이되는 a값을 구한다.

$\frac{dE}{da}=0$ => $a=\frac{\sum y_i x_i}{\sum x_i ^2}$

또 다른 예시로 $y=ax+b$ 일때는 $y_i = ax_i +b+e_i$ 를 가지고 a,b를 구한다.

지금까지는 간단한 시스템에 대하여 step입력과 출력을 가지고 model을 선정했다면 좀 더 일반화된 입력을 통해서 구하는 방법을 알아본다.

Q : 앞에서 구한 model도 변수는 3가지 정도밖에 없었는데 3점을 가지고 변수들을 구하면 안되나요?

A:측정데이터에 error가 섞이기 때문에 많은 데이터를 모아 error가 최소화 되도록 구하는 것이 좋다.

제어를 위해서 Digital computer를 많이 사용하기때문에 Input/output의 데이터는 이산화 되어있다.

시스템의 모델이 $G(s) = \frac{K}{1+sT}e^{-sT}$ 와 같다고 가정하면 출력은 다음과 같다.

출력인 이전 출력에 a를 곱한것과 그때의 입력에 $b_1$, 그 이전의 입력에 $b_2$를 곱한것을 더해서 얻을 수 있다.

$a,b_1,b_2$ 는 다음과 같다.