State Space Design 3~4

Block Diagrams and Canonical Forms

전달함수 $G(s)$ 를 상태공간에 표현하는 방법에는 크게 두가지 방법이 있다.

• Control canonical form
• Modal canonical form

다음 예제를 가지고 두가지 방법을 알아보도록 하자.

$G(s) = \frac{s+2}{s^2+7s+12}$

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Control canonical form

block diagram을 그리면 다음과 같다.

block diagram을 그리기 위해서는 $G(s) = \frac{s+2}{s^2+7s+12} = \frac{\xi(s)}{U(s)}\frac{Y(s)}{\xi(s)}$ 로 생각하고 먼저 $\frac{\xi(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2+7s+12}$ 을 먼저 그린다.

여기서는 x2 신호가 $\xi$ 가 되고 x1신호가 $S\xi(s)$ 가 되어서 분자부분을 구현할 수 있다.

상태공간으로 표현하면 다음과 같다.

이때 system matrix, Ac의 행을 보면 -7과 -12가 전달함수의 분모에 부호만 바뀌어 있는 것을 확인 할 수 있다.

또한 output matrix, Cc를 보면 전달함수의 분모에 있는것을 알 수 있다. $G(s)$는 다음과 같이 유도된다.

3차식에서는 다음과 같다.

일반적인 식으로 표현하면 다음과 같다.

전달함수의 분자와 분모의 값들이 $A_c, C_c$에 나타난다.

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Modal canonical form

이때 system matrix의 값 -4,-3은 pole과 관련있다는 것을 알 수 있다. modal canonical form 은 pole을 가지고 표현한다고 생각가능하다.

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Transform

$\dot{x}=T\dot{z}=T[ AZ+Bu ]=TAT^{-1}+TBu$

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Transformation into control canonical form

$A = T^{-1}FT 를 AT^{-1}=T^{-1}F$ 처렴 사용하는 이유는 $T^{-1}$에 대해서만 생각하기위해 다음과 같이 사용한다.