차량동역학 5장
INTRODUCTION TO LONGITUDINAL CONTROL
이번 장에서는 종방향 제어에 대해서 알아봅니다.
CRUISE CONTROL
standard cruise control system 에서 speed set point를 입력으로 받고 desired acceleration을 출력으로 하는 상위제어기와 상위제어기의 출력을 입력으로 받고 throttle input을 출력으로 하는 하위제어기가 있습니다.
상위제어기를 설계할때 다음을 만족해야 합니다.
- zero steady state tracking error
- zero overshoot
- fast rise time
상위제어기 plant model
$\ddot{x}= \frac{1}{\tau s +1}\ddot{x}_{des}$ or
유한한 대역폭으로 차량은 원하는 가속도를 완벽하게 추적하지 못합니다.
Upper level controller for cruise control
상위 제어기에는 PI 제어기가 사용 됩니다.
$\ddot{x}{des}(t)=-k_p(V_x-V{ref})-k_I \int\limits_{0}^{t}(V_x - V_{ref})dt$
$x_{des}= \int\limits_{0}^{t}V_{ref}d\tau$ 이므로
$\ddot{x}{des}=-k_p(\dot{x}-\dot{x}{des})-k_I(x-x_{des})$
the unity feedback loop denoting this losed loop system
transfer function between desired acceleration and actual vehicle speed :
$P(s)=\frac{1}{s(\tau s+1)}$
PI controller :
$C(s)=k_p + \frac{k_i}{s}$
closed-loop transfer function :
$\frac{V_x}{V_{ref}}=\frac{PC}{1+PC}=\frac{k_ps+k_i}{\tau s^3 + s^2 + k_ps + k_i}$
root locus for PI controller
$k_p$ : 0 to 0.75
$\frac{k_p}{k_i}$ : fixed at 4
$\tau : $ 0.5
$k_p$ 가 0.75를 일때 damping ratio 는 0.87이며 $k_p$ 가 0.75를 넘어서면 시스템이 적은 damping을 가진다.
$k_p = 0.75$ 일때의 bode plot
bandwidth of the closed-loop system : 0.2Hz
Lower level controller for cruise control
하위 제어기에서는 상부 컨트롤러에 의해 결정되는 가속도를 추적하도록 throttle을 조절합니다.
assumptions
- torque converter in the vehicle is locked
- zero-slip between the tires and the road
위의 가정이 합리적일 수 있는 이유는
- cruise control system은 실제로 torque converter가 잠겨있는 상태에서 작동됩니다.
- cruise control에 의한 종방향 이동은 부드럽기 때문에 타이어의 slip이 매우 적습니다.
Engine torque calculation for desired acceleration
torque converter가 잠겨있으므로 $T_t = T_p$ (turbine torque = pump torque)
$w_w = Rw_e$ R : gear ratio $w_w, w_e $ : wheel speed, engine speed
transmission shaft speed is equal to the engine speed $w_t = w_e$
차량의 종방향 속도 $\dot{x} = r_{eff}w_w$
차량의 종방향 가속도 $\ddot{x} = r_{eff}R\dot{w_e}$
차량의 종방향 차량 방정식 : $m\ddot{x}=F_x - R_x - F_{aero}$
$F_x$ : longitudinal tire force for all tires
$R_x$ : rolling resistance force
$F_{aero}$ : aerodynamic drag force
차량의 종방향 가속도를 사용하여 종방향 차량 방정식을 다시 포현하면
$mRr_{eff}\dot{w_e} = F_x - R_x - F_{aero}$
$F_x = mRr_{eff}\dot{w_e} + R_x + F_{aero}$ (5.13)
wheel rotational dynamics :
$I_w \dot{w}{wf}=T{wheel}-r_{eff}F_{xf}$ 에 (5.13) 을 적용
다시 정리하면 (5.15) 식을 얻을 수 있습니다.
(5.15)식을 transmission dynamics에 적용시키면 다음 식을 얻습니다.
$w_t=w_e, T_t=T_p$ 이므로 다음과 같이 정리됩니다.
(5.16) 식을 engine rotational dynamics equation에 적용하면 다음과 같다.
$J_e=I_e+I_t+R^2I_w+mR^2r_{eff}^2$ 라고 하면 다음과 같이 정리된다.
$F_{aero}$ 대신에 $F_{aero}=c_a(r_{eff}Rw_e)^2$ 를 적용하면 다음과 같이 정리된다.
$J_e=I_e+I_t+(mr_{eff}^2+I_w)R^2$ : is the effective inertia reflected on the engine side
ANTI-LOCK BREAKE SYSTEMS
Motivation
Anti-lock breake system (ABS)는 다음의 두가지 목적을 가지고 있습니다.
- 제동상태에서 휠 잠김 방지
- longitudinal slip ratio 의 최적 값을 초과하지 않도록 유지하여 제동력 극대화
ABS가 없어 차량의 타이어가 잠기는 경우 제동력이 감소하여 차량을 멈추는데 더 오랜 시간이 걸리고 운전자가 조향을 할 수 없게 됩니다.
variation of frictional coefficient to slip ratio
figure 5-9 Tire longitudinal force as a function of logitudinal slip ratio
tire longitudinal force typically increases linearly with slip ratio for small slip ratios
브레이크를 강하게 밟으면 slip ratio가 커지지만 최적의 slip ratio를 벗어나면 제동력이 감소하게 됩니다.
ABS는 slip ratio를 최적 값으로 조절하여 제동력을 증대시키고 휠이 잠기는 것을 방지하여 제동 중에 차량의 조향성을 증대시킵니다.
시뮬레이션을 통해 얻은 그래프로 ABS가 없는 제동과 ABS가 적용된 제동을 살펴 볼 수 있습니다.
ABS가 적용된 제동에서는 slip latio이 -0.09를 유지하는 것을 볼 수 있다. 또한 바퀴가 12초에 걸쳐 천천히 속도가 감소하는 것도 확인할 수 있다.
ABS가 적용된 차량의 경우 같은 시간동안 더 많은 감속을 한 것을 확인 할 수 있다.
ABS Functions
ABS의 기본적인 목표는 braking pressure 를 조절하여 휠의 잠김을 방지하는 것과 동시에 브레이크를 작동시키는 것입니다. 또한 slip ratio를 최적값으로 조절 하는것도 포함되어 있습니다.
ABS는 제어하는 휠의 수에따라 four channel four sensor, three channel three sensor ont channel one sensor로 나뉩니다.
ABS에 의해 제어되는 각각의 channel에는 valve가 있고 운전자가 제어할 수 있습니다.
valve 가 열리면 master sylinder의 압력이 브레이크로 바로 전달되고 이때 운전자는 브레이크의 압력을 조절 할 수 있습니다.
valve가 닫히면 브레이크는 master sylinder와 분리되고 운전자가 브레이크 페달을 세게 밟더라도 브레이크의 압력은 늘어나지 않습니다.
valve가 relase position에 있다면 브레이크의 압력이 해제되고 운전자는 제동에 추가적인 작용을 하지 못하고 휠에 가해지는 brake pressure 또한 큰 폭으로 감소합니다.
ABS 의 가장 큰 문제점은 저렴한 센서로는 wheel slip을 측정할 수 없다는 것입니다.
종종 ABS에서 측정가능한 유일한 값은 개별 바퀴의 속도 입니다. 측정된 속도를 활용하여 휠이 잠길지 여부를 예측하고 휠이 잠기는 위험을 피했는지 또한 예측해야 합니다.
prediction point slip : wheel slip at the instant the control unit predicts for the first time in a brake cycle that the wheel is going to lock.
reselection point slip : wheel slip at the instant it is predicted for the first time in a brake cycle that the danger of locking is averted.
Deceleration Threshold Based Algorithms
one of the most common ABS algorithms : deceleration threshold based algorithm
wheel deceleration signal is used to predict if the wheel is about to lock
wheel deceleration : $\dot{V} = r_{eff}\dot{w}_w$
$r_{eff}$ : effective tire radius
$w_w$ : angular wheel speed
$a_2 > a_1 , a_4 > a_3$ : acceleration threshold values
first cycle starts
$\dot{v}_R > -a_1$ : driver’s braking action is directly passed through to the brakes
$\dot{v}_R < -a_1$ : driver’s braking action is no longer directly passed through to the barkes. braking pressure is held constant
$\dot{v}_R < -a_2$ : braking pressure at the wheel is decreased. wheel gaining speed or acceleration
$\dot{v}_R > -a_2$ : pressure drop is stopped
$\dot{v}_R > -a_1$ : driver’s braking action is once again directly passed through to the brakes
$\dot{v}_R > a_4$ : braking pressure is actually increased beyond that dictated by the driver’s action(prevent over accleration)
$\dot{v}_R < a_3$ : driver’s braking action are again passed through to the brakes
$\dot{v}_R < -a_1$ : secont cycle starts
위와 같은 주기를 통해 휠이 잠기는 것을 방지하고 휠의 회전 속도는 휠 슬립이 최대 마찰 계수의 속도에 근접하게 유지됩니다.
두번째 주기 동안에는 $\dot{v}_R < -a_1$ : braking pressure is reduced right away holding brake pressure constant between $a_1$ and $a_2$ is no longer done
이 알고리즘의 수정된 버전에서는 첫 번째 주기 동안에 감속도가 $a_1$ 을 초과하고 바퀴의 속도가 임게치에 도달하면 braking pressure가 감소합니다. 즉 $a_2$가 사용되지 않습니다.
두 번째 주기 이후로는 감속이 $a_1$ 을 초과하면 압력이 즉시 감소합니다.
Other Logic Based ABS Control Systems
factors influence the working of the ABS system
- value of the tire-road friction coefficient
- the rate of application of the brake torque (brake dynamics)
- initial longitudinal velocity of the vehicle
- the brake effort distribution from front to rear
the work by Guntur and Ouwerkerk, 1972
vary important parameters
- rate of application of the brake
- tire-road friction coefficients(different road conditions)
- initial velocity of the vehicle
Four different algorithms are evaluated in terms of their prediction of wheel lock
저자는 두 개의 알고리즘으로 구성된 조건이 최상의 성능을 발휘한다고 결론내린다.
$A_p$ : 휠 감속에 대한 최대 임계값 설정
$B_p$ : 휠 속도의 비율에 대한 최대 임계값 설정
Eight different algorithms are evaluated in terms of their identification of the reselection point
저자는 세개의 알고리즘으로 구성된 조건이 좋은 결과를 제공하는 것을 발견한다.
$A_r$ : 브레이크가 해체될 때마다 일정 시간 후에 브레이크를 다시 작동시키는 fixed time delay condition 방법
$D_r$ : 원하는 각속도에 대한 조건이며 첫 번째 사이클에서 초기 제동 지점의 각속도의 신호를 저장하고 원하는 각속도가 이 값에 비례하는 것으로 가정하는 방법.
$F_r$ : 바퀴 각속도의 감속 비율에 대한 임계값이 초과될 때마다 브레이크를 다시 적용. 낮은 속도에서 제동 효과 향상, 매우 낮은 속도에서 anti-skid system이 작동하지 않도록 하기 위해서 사용됨
Recent Research Publication on ABS
많은 연구가 wheel slip ratio를 추적할 수 있는 알고리즘에 집중해왔다.
휠, 타이어, 차량 및 유압시스템에 대한 상세한 dynamic model이 사용된다. 모델들은 비선형이고 비선형 제어기술은 wheel slip ratio를 추적하는데 사용되어진다.
이 시스템에서 유압 및 휠 속도가 측정가능하다.
차량의 절대 속도를 측정할 수 없다는 사실은 slip ratio를 측정할 수 없다는 것을 의미한다.
관찰자로부터 추정되어야 하며 이는 매우 어려운 문제가 된다.
도로상황의 변화에 따른 동적 타이어 모델을 고려하는것 또한 매우 어려운 문제가 된다.