차량동역학 4장
LONGITUDINAL VEHICLE DYNAMICS
이번 장에서는 차량의 종방향 다이나믹스에 대해서, 특히 타이어에 대해서 배워봅니다.
차량의 x 좌표에 대한 dynamics는 다음과 같습니다.
$m \ddot{x}=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}-R_{xf}-R_{xr}-mgsin\theta$
$F_{xf}(F_{xr})$ : longitudinal tire force at the front(rear) tires
$R_{xf}(R_{xr})$ : rolling resistance at the front (rear) tires
$F_{aero}$ : equivalent longitudinal aerodynamic drag force
$m$ : is the mass of the vehicle
$\theta$ :
Aerodynamic drag force
차량에 가해지는 공기 역학적 항력은 다음과 같습니다.
$F_{aero}=\frac{1}{2}\rho C_d A_F(V_x + V_{wind})^2$
$\rho$ : mass density of ar
$C_d$ : aerodynamic drag coefficient
$V_x$ : longitudinal vehicle velocity
$V_wind$ : wind vel
$C_d$ : aerodynamic coefficient
$A_F$ : frontal area of the vehicle, 차량의 폭과 높이를 곱한 넒이의 79-84%정도.
$A_f = 1.6 + 0.00056(m-765)$
cost-down test : 차대동력계만을 가속시킨 후 동력을 끊은 상태로 감속에 소요되는 시간을 측정하는 테스트. 소요 시간이 짧을 수록 동력계 자체 손실이 큰것을 의미한다.
$m\ddot{x}=-F_{aero}-R_x$
$\Rightarrow \frac{V_x}{V_0}=\frac{1}{\beta}tan[ (1-\frac{t}{T})tan^{-1}(\beta) ]$
이때 $\beta=V_0 (\frac{\rho A_FC_d}{2R_x})^{\frac{1}{2}}$ 이고 T:stop time 입니다.
역으로 $C_d, R_x$를 구할 수도 있습니다.
$C_d = \frac{2m\beta tan^{-1}(\beta)}{V_0 T \rho A_F}, R_x=\frac{V_0 m tan^{-1}(\beta)}{\beta T}$
Longitudinal Tire Force
the longitudinal tire forces $F_{xf}, F_{xr}$ are friction forces from the ground that act on the tires.
실험적으로 타이어에 의해 생성되는 종 방향 힘의 원인은 다음과 같다.
- the slip ratio
- the normal load on the tire
- the friction coefficient of the tire-road interface
또한 타이어의 수직항력은 차체의 질량, 무게중심의 위치, 종방향가속도, 공기역학적 항력 및 도로 경사도의 영향을 받습니다.
Slip Ratio and Logitudinal Tire Force
Longitudinal slip : $r_{eff}w_w - V_x$
실제 종 방향 속도 $V_x$ 와 타이어의 회전속도의 차를 Longitudinal slip이라고 하며 뒤에 더 자세하게 설명하겠습니다.
longitudinal slip ratio 의 정의는 다음과 같습니다.
$\sigma_x := \frac{r_{eff}w_w - V_x}{V_x}$ : during braking
$\sigma_x := \frac{r_{eff}w_w - V_x}{r_{eff}w_W}$ : during acceleration
Slip Ratio and Longitudinal Tire Force
지면과 닿는 타이어는 종 방향으로의 강성을 가지는 일련의 독립적인 스프링으로 모델링 될 수 있습니다.
net velocity at the treads : $r_{eff}w_w - V_x$
만약 $r_{eff}w_w - V_x$ 가 작다고 가정한다면 Static region이 존재합니다. 타이어가 회전하면서 stataic region영역에 들어가게 된다면 바닥과 접촉하는 면의 속도는 0이 되고 상단 부분 즉 스프링으로 대신하여 모델링된 부분의 위쪽 스프링의 속도는 $r_{eff}w_w - V_x$ 와 같이 움직이게 됩니다. 이때 스프링(타이어)는 변형되게 됩니다. 이때 변형의 정도는 slip vel와 static region을 지나는 시간에 비례합니다.
Rolling Resistance 타이어가 회전하므로 타이어, 도로 모두 contact patch에서 변형 될 수 있습니다. 하지만 타이어 내부의 damping으로 인해 변형하는데 사용된 에너지가 왼전히 회복되지 않습니다.
이러한 에너지 손실은 타이어에 가해지는 힘으로 표시되며 이를 rolling resistance라 합니다.
결과적으로 회전하는 타이어에 가해지는 수직항력은 앞으로 이동하게 됩니다.
Model of rolling resistance :
$R_{xf} + R_{xr} = f(F_{zf}+F_{zr})$ f : rolling resistance coefficient
$F \Delta x$ 은 $R_x r_{start}$ 로 대체된다.
$R_x = \frac{F_z \Delta x}{r_{start}} =: fF_z$
f : 0.001~0.004
Effective Tire Radius
$r_{eff}$ : the effective tire radius는 바퀴의 각속도와 contact path의 통과하는 선 속도 $V_{eff}$ 에 관한 값입니다.
$V_{eff}=r_{eff}w_w$
$r_{eff} = \frac{sin{con^{-1}(\frac{r_{start}}{r_w})}}{cos^{-1}(\frac{r_{start}}{r_w})}$
contact patch의 속도를 표현하고 싶어서 $V_{eff}$ 를 사용했고 타이어의 변형을 생각하여 $r_{eff}$ 를 사용하여 표현하였습니다.
$r_{start} < r_{eff} < r_w$
Calculation of Normal Tire Forces
타이어의 수직항력의 원인은 다음과 같습니다.
- fore-art location of the c.g.
- longitudinal acceleration of the vehicle
- aerodynamic drag forces on the vehicle
- grad of the road
pitch torque가 없다고 가정하고 각 타이어의 수직항력을 구하면 다음과 같다.
차량이 가속할때 앞바퀴에 가해지는 수직항력은 줄고 뒷바퀴에 가해지는 수직항력은 증가하는 것을 볼 수 있습니다.